\tema{Calculo de autovalores}

\intro

Donde $det(A-\lambda I) = 0$ (polinomio caracter'istico)

\begin{enumerate}
\item A no inversible $\Leftrightarrow \lambda = 0$ es autovalor
\item Si $\lambda$ es autovalor $\rightarrow$ existe un autovector de norma 1.
\item Si $\lambda$ es autovalor de A $\rightarrow \lambda^{-1}$ es autovalor de $A^{-1}$
\item A y $A^{t}$ tienen los mismos autovalores.
\item Radio espectral = maximo autovalor en m'odulo $\leq \|A\|$
\item Si A es sim'etrica y tiene dos autovalores distintos, los autovectores asociados a estos autovalores son ortogonales. Si no es sim'etrica, son li.
\end{enumerate}


\subsection{M\'etodo de la potencia}

El m'etodo de la potencia es una t'ecnica iterativa que permite determinar 
el valor caracter'istico dominante de una matriz, es decir, el autovalor con 
mayor magnitud. una ligera modificaci'on del m'etodo permite determinar tambi'en 
otros valores caracter'isticos. Un aspecto 'util del m'etodo de la potencia es que 
no s'olo produce un valor caracter'istico, sino un vector caracter'istico asociado.
De hecho, es frecuente que el m'etodo de la potencia se aplique para hallar un 
vector caracter'istico.

Para aplicar el m'etodo de la potencia supondremos que la matriz A de $n \times n$ 
tiene n valores caracter'istico $\lambda_{1}, \hdots, \lambda_{n}$ con un conjunto
asociado de vectores caracter'isticos linealmente dependientes $\{ v^{1}, \hdots, v^{n} \}$.
M'as a'un, supondremos que A tiene exactamente un valor caracter'istico, 
$\lambda_{1}$, cuya magnitud es la mayor.

Si x es un vectori cualquiera de $\Re^{n}$, el hecho de que 
$\{ v^{1}, \hdots, v^{n} \}$ sean linealmente independientes implica que existen 
$\{ \beta^{1}, \hdots, \beta^{n} \}$ con
\[
x = \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} v^{i}
\]

Al multiplicar ambos lados de esta ecuaci'on por $A, A^{2}, \hdots, A^{k}$ obtenemos:
\[
Ax = \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} A v^{i} = \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} \lambda_{j} v^{i}
\]

\[
A^{2}x = \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} \lambda_{j} A v^{i} = \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} \lambda_{j}^{2} v^{i}
\]
.
.
.
\[
A^{k}x = \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} \lambda_{j}^{k} v^{i}
\]

Si factorizamos $\lambda_{1}^{k}$ en cada t'ermino de la derecha de la 'ultima 
ecuaci'on, entonces
\[
A^{k}x = \lambda_{1}^{k} \sumatoria{j = 1}{n} \beta_{j} (\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{1}})^{k} v^{i}
\]

Como $|\lambda_{1}| > |\lambda_{j}|$ para cualquier $j = 2, \hdots, n$, tenemos 
\[
\lim_{k \rightarrow \infty } (\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{1}})^{k} = 0
\]
y
\[
\lim_{k \rightarrow \infty } A^{k} = \lim_{k \rightarrow \infty } \lambda_{1}^{k} \beta_{1} v^{1}
\]

Esta sucesi'on converge a cero si $|\lambda_{1}| < 1$ y diverge si $|\lambda_{1}| > 1$,
naturalmente a condici'on de que $\beta_{1} \neq 0$

\todo{COMPLETAR EL TEMA DE LA FUNCION CONINTUA}